Matemateca.Monoame.Polinoame

                                                    Monoame
Monoame-expresie algebrică compusă dintr-un singur termen, în care nu figurează nici semnul plus nici semnul minus.
Exemplu:

                                        Polinoame
În matemateă, un polinom este o expresie construită dintr-una sau mai multe variabile și constante, folosind doar operații de adunare, scădere, înmulțire și ridicare la putere constantă pozitivă întreagă. ${\displaystyle x^{2}-4x+7\,}$ este un polinom. Se observă în particular că împărțirea printr-o expresie ce conține o variabilă nu este permisă în polinoame.

              Proprietăți elementare ale polinoamelor

1. Suma a două polinoame este un polinom
2. Produsul a două polinoame este un polinom
3. Derivata unui polinom este un polinom
4. Primitiva unui polinom este un polinom

 Operatii cu polinoame

Adunarea: se face sumand coeficientii monoamelor de acelasi grad. 

1. Calculaţi f + g dacă f= X⁴+4X²-5X+3 şi  g = 3X⁴+X²-2X-3.
 Rezolvare:

 f+g = 4X⁴+5X²-7X, adunarea se face sumand coeficientii monoamelor de acelasi grad si pastrandu-se partea literala.

 Inmulţirea: se face inmultind fiecare monom al primului polinom cu fiecare monom al celui de-al doilea polinom, dupa regula: (aXⁿ)(bX^m)=(ab)X^n+m

Exemplu:

Calculaţi f × g dacă  f = X⁴+4X²+3 şi g= 5X+3.

 Rezolvare:

 f × g =(  X⁴+4X²+3) ( 5X+3 ) 

Împărţirea polinoamelor. 

 Exemplu

Se considera polinoamele  f = X⁴+4X²+3 şi g= 5X+3., să se gaseasca câtul şi restul împărţirii lui f la g.

 Rezolvare:

 Algoritmul de impartire: seamana cu cel de la numere, in discutie intra doar monoamele dominante de la deimpartit si impartitor, apoi dupa ce se gaseste un monom al catului se inmulteste cu fiecare monom al  impartitorului si se trece sub deimpartit cu semn schimbat.

Teorema împărţirii cu rest (D=IC+R) 

Fie două polinoame oarecare cu coeficienţi complecşi f şi g cu g nenul , atunci există două polinoame cu coeficienţi complecşi q şi r astfel încât

f = g× q + r unde grad r < grad g .

 aceste polinoamele q şi r sunt unice.

 Teorema restului (pentru aplicatii)

 Restul împărţirii unui polinom f prin binomul X – a este egal cu valoarea f (a) .

 Observaţie

 Această teoremă ne ajută să determinam restul împărţirii unui polinom oarecare prin binomul X – a fără a face împărţirea.

 Exemplu

 Restul împărţirii polinomului f = X⁴+4X²+3 prin X – 2 este   f (2) = 16+16+3= 35

  Să se gaseasca parametrul real m ştiind că restul împărţirii polinomului 4X²+ m prin X + 1 este egal cu 5.

 Rezolvarea:

 Se Pune condiţia f (-1) = 5. Obţinem 4 + m = 5 de unde rezultă m = 1.
                              

(https://sites.google.com/site/videomeditatii/clase-liceale-9-12/clasa-a-12-a-materii-de-studiu/programa-scolara-pentru-matematica-clasa-a-xii-a/operatii-cu-polinoame-impartirea-polinoamelor)